Difficulté du chapitre : ⭐⭐⭐⭐
La plupart des modes de raisonnement sont simples et ne demandent pas vraiment d’entraînement pour être maîtrisés, parce que nous les utilisons au quotidien, sans vraiment nous en rendre compte. La déduction par syllogisme, par exemple : si Paul est un homme et si tous les hommes sont corruptibles, alors Paul est corruptible. Tout le monde comprend pourquoi c’est vrai : le syllogisme est un raisonnement naturel.
Le raisonnement par récurrence est un peu différent en ceci qu’il est contre-intuitif : au premier abord, on ne comprend pas toujours « pourquoi ça marche ». Et pourtant, il prouve ! Il s’agit d’être capables de faire des raisonnements un peu plus puissants que les simples syllogismes, donc forcément, c’est un peu plus compliqué. En détaillant bien les étapes du raisonnement, vous comprendrez pourquoi le raisonnement par récurrence constitue bien une preuve mathématique rigoureuse, et vous serez capables de le faire à votre tour. Alors à vos stylos, et surtout, à vos cerveaux !
I. Les étapes du raisonnement par récurrence
À retenir
Le raisonnement par récurrence comprend 4 étapes :
- Propriété
On écrit de manière mathématique la propriété que l’on veut démontrer, en la nommant. On peut par exemple la nommer \small{P_n}. - Initialisation
On montre que la propriété est vraie pour le rang 0 (parfois le rang 1). - Hérédité
On montre que si la propriété est vraie pour un certain rang, alors elle est forcément vraie aussi pour le rang suivant. - Conclusion
On fait la synthèse de ce qu’on a montré :- Dans l’initialisation, on a montré que \small{P_0} est vraie (ou bien \small{P_1}).
- Dans l’hérédité, on a montré que, si pour un certain \small{n}, \small{P_n} est vraie, alors \small{P_{n+1}} est vraie aussi.
- On conclut alors que \small{P_n} est vraie pour tout \small{n}.
On peut écrire la phrase suivante : « La propriété est vraie au rang 0 (ou 1) et est héréditaire, donc elle est vraie pour tout \small{n \in \N} (ou \small{\N^*}). »
Exercices
Exercice 1
On pose :
\small{(u_n) \begin{cases}
u_0 = -4 \\
u_{n+1} = -(u_n - 2)^2 \space \space \forall n \in \N
\end{cases}}- Démontrer (sans récurrence) que \small{u_n \leqslant 0} pour tout \small{n \in \N}.
- Démontrer par récurrence que \small{u_n} est décroissante.
Exercice 2
On pose :
\small{(u_n) \begin{cases}
u_0 = 0 \\
u_{n+1} = 3 u_n - 4 \space \space \forall n \in \N
\end{cases}}Démontrer par récurrence que pour tout \small{n \in \N}, \small{u_n = 2 (1 – 3^n)}.
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