À retenir

On s’intéresse à la limite d’une fonction \small{f} au voisinage de \small{\pm\infin}, c’est-à-dire son comportement lorsque \small{x} est tellement « grand » qu’il approche de \small{\pm\infin}.

Limite finie au voisinage de \small{\pm\infin} :

• Une fonction \small{f} admet une limite \small{\ell \in \R} au voisinage de \small{\pm\infin}
  lorsque \small{f(x)} est aussi proche qu’on veut de \small{\ell} pour \small{x} assez proche de \small{\pm\infin}.

Limite infinie au voisinage de \small{\pm\infin} :

• Une fonction \small{f} admet \small{+\infin} comme limite au voisinage de \small{\pm\infin}
  lorsque \small{f(x)} est aussi grand qu’on veut pour \small{x} assez proche de \small{\pm\infin}.
• Une fonction \small{f} admet \small{-\infin} comme limite au voisinage de \small{\pm\infin}
  lorsque \small{f(x)} est aussi petit qu’on veut pour \small{x} assez proche de \small{\pm\infin}.

À retenir

On s’intéresse maintenant à la limite d’une fonction \small{f} au voisinage de \small{a \in \R}, c’est-à-dire son comportement lorsque \small{x} est assez proche de \small{a}.

• Si \small{a \in \mathscr{D}_f}, il est évident que la limite de \small{f} en \small{a} est \small{f(a)} : pas de problème.
• Si \small{a \notin \mathscr{D}_f}, par exemple \small{a = 0} pour la fonction inverse, la valeur \small{f(a)} n’existe pas, et on doit faire les choses autrement pour déterminer le comportement de \small{f} au voisinage de \small{a}.

Limite finie au voisinage de \small{a} :

• Une fonction \small{f} admet une limite \small{\ell \in \R} au voisinage de \small{a}
  lorsque \small{f(x)} est aussi proche qu’on veut de \small{\ell} pour \small{x} assez proche de \small{a}.

Limite infinie au voisinage de \small{a} :

• Une fonction \small{f} admet \small{+\infin} comme limite au voisinage de \small{a}
  lorsque \small{f(x)} est aussi grand qu’on veut pour \small{x} assez proche de \small{a}.
• Une fonction \small{f} admet \small{-\infin} comme limite au voisinage de \small{a}
  lorsque \small{f(x)} est aussi petit qu’on veut pour \small{x} assez proche de \small{a}.